കണക്കിന്റെ കടമ്പ കടക്കാന്‍ -3

 ആരാണോ കുട്ടികള്‍ക്ക് വിദ്യാഭ്യാസം നല്‍കുന്നത് അവര്‍ രക്ഷിതാക്കളേക്കാള്‍ കൂടുതല്‍ ആദരിക്കപ്പെടുന്നു. കാരണം രക്ഷിതാക്കള്‍ ജന്മമാണ് ( ജീവനാണ്) നല്‍കുന്നത്. അധ്യാപകരാകട്ടെ നല്ല ജീവിതത്തിന്റെ കലയാണ് നല്‍കുന്നത്.-

- അരിസ്റ്റോട്ടില്‍

നല്ല ജീവിതത്തെക്കുറിച്ച് എല്ലാ വിഷയക്കാരും ചര്‍ച്ച ചെയ്യണ്ടേ? 
 മനുഷ്യത്വത്തിന്റെ പാഠങ്ങള്‍?  
ജീവിതത്തിന്റെ നേര്‍ക്കാഴ്ചകള്‍? പാവപ്പെട്ടവരുടെ ജീവിതം?  
ഇതെല്ലാം ഗണിതത്തിന് അന്യമാണോ? വര്‍ത്തമാന സമൂഹത്തില്‍ നിന്നും ഗണിതപഠനസാധ്യത അന്വേഷിക്കുന്നതിനുളള ഒരു ശ്രമമാണിവിടെ നടത്തുന്നത്. ഒപ്പം വ്യവകലനത്തിലെ ഗണിതപ്രയാസങ്ങള്‍ക്കുളള പരിഹാരാലോചനയും

മുത്തശ്ശന്മാരും മുത്തശ്ശികളുമായ മോഹനനായ്ക് -,വി ജെ ജോണ്‍, ലീലാവതി,മോനിക്ക, കുറുമ്പ, മുണ്ടി

എന്നിവര്‍ക്ക് പെന്‍ഷന്‍തുക വീട്ടില്‍ കിട്ടിയതിന്റെ വാര്‍ത്തയാണ് ചുവടെ .ഇവരുടെ പ്രായം നോക്കൂ. ഇങ്ങനെയുളളവര്‍ക്ക് പെന്‍ഷന്‍ നല്‍കുന്നതിനോടുളള നിങ്ങളുടെ സമീപനം എന്താണ്? ഈ തുക അവര്‍ എങ്ങനെയെല്ലാമാണ് വിനിയോഗിക്കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നത്?

• മലപ്പുറം ; കുറുമ്പക്കും മുണ്ടിക്കും മറക്കാന്‍ കഴിയില്ല ആ നിമിഷം... പൊന്മള പഞ്ചായത്തിലെ തെക്കേക്കരയിലെ വെട്ടുകോടന്‍ കുറുമ്പ എന്ന അറുപത്തിയാറുകാരിക്ക് 5400 രൂപ ഒന്നിച്ച് കൈയില്‍ കിട്ടിയപ്പോള്‍ സന്തോഷം കരച്ചിലായി മാറി.പെന്‍ഷന്‍ തുക വീട്ടിലെത്തിയതിന്റെ ആഹ്ളാദത്തിലായിരുന്നു കുറുമ്പ– 'വീട്ടിലേക്ക് അല്ലറ ചില്ലറ സാധനം വാങ്ങണം. ഓണം കേമമാക്കണം'.

• കര്‍ഷകത്തൊഴിലാളിയായിരുന്ന വെട്ടുകോടന്‍ മുണ്ടി എന്ന 69–കാരിക്ക് 7500 രൂപയാണ് കിട്ടിയത്. ഇത്രയും വലിയ തുക കൈയിലെത്തുന്നത് ഇതാദ്യം. ശാരീരിക അവശതകളില്‍ ദുരിതമനുഭവിക്കുന്ന മുണ്ടിക്ക് ചികിത്സാചെലവുകള്‍ക്ക് പെന്‍ഷന്‍ അനുഗ്രഹമായിരുന്നു. എന്നാല്‍, ഇത് ഇടയ്ക്കിടെ മുടങ്ങിയതിനാല്‍ ചികിത്സയെ ബാധിച്ചു. 'ചികിത്സ തുടരണം. എല്ലാവര്‍ക്കും ഓണക്കോടി വാങ്ങണം'–  മുണ്ടി ഉറപ്പിച്ചു.
  

• ആലപ്പുഴ ; കയര്‍തൊഴിലാളി പെന്‍ഷന് അപേക്ഷ നല്‍കി ഒരുവര്‍ഷം കാത്തിരുന്ന മോനിക്കയ്ക്ക് വിശ്വസിക്കാനാകുന്നില്ല. പെന്‍ഷന്‍ തുകയായി 10,400 രൂപയാണ് കഴിഞ്ഞ ദിവസം കൈയില്‍ കിട്ടിയത്. നാലാം ക്ളാസില്‍ പഠിക്കുമ്പോള്‍ മുതല്‍ കയര്‍ പിരിച്ചുതുടങ്ങിയ മോനിക്ക 60 വയസുവരെ ഈ ജോലി തുടര്‍ന്നു. കയര്‍പിരി മേഖലയില്‍ കുറേ നാളായി പണിയില്ലാത്തതിനാല്‍ ഇപ്പോള്‍ തൊഴിലുറപ്പ് ജോലിക്ക് പോകുന്നു. വീടുകളില്‍ പെന്‍ഷന്‍ എത്തിക്കുന്നത് നല്ലതാണെന്നും മോനിക്ക പറയുന്നു. ഇത്രയും തുക പെന്‍ഷനായി ലഭിച്ചതിന്റെ ആഹ്ളാദം പങ്കിടുന്ന മത്സ്യത്തൊഴിലാളി ഗ്രാമത്തിലെ മോനിക്ക സര്‍ക്കാരിന്റെ ഓണസമ്മാനമായിട്ടാണ് ഇതിനെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്.
• കണ്ണൂര്‍ ; 'കൊച്ചുമക്കളായ ദിഷക്കും ദിയക്കും വേണ്ടതെല്ലാം വാങ്ങിക്കൊടുക്കാന്‍ എനിക്കിനി ആരോടും കൈ നീട്ടേണ്ടതില്ലല്ലോ. ഇതെല്ലാം കെട്ടുകഥയാണെന്നാണ് ഞാന്‍ കരുതീയത്. പെന്‍ഷന്‍ വീട്ടിലെത്തുമെന്നത് തെരഞ്ഞെടുപ്പ് കാലത്ത് പലതും പറയുന്ന കൂട്ടത്തില്‍ വെറുതെ പറഞ്ഞതാണെന്നേ തോന്നിയുള്ളൂ. പതിനായിരം രൂപ ബാങ്കുകാര് വന്ന് കൈയില്‍വച്ചുതന്നപ്പോള്‍ വിശ്വസിക്കാനായില്ല'– പറയുമ്പോള്‍ ലീലാവതിക്ക് സന്തോഷക്കണ്ണീര്‍. ഓണക്കാലത്തെ ചെലവുകളെക്കുറിച്ച് എനിക്കിനി ആധിയില്ല. ഭര്‍ത്താവിന് കിട്ടാനുണ്ട് പെന്‍ഷനായി ഇതേ തുക. അവര്‍ തുടര്‍ന്നു.
• പെന്‍ഷന്‍ വീട്ടിലെത്തിക്കുമെന്ന് നാട്ടുകാര്‍ പറഞ്ഞെങ്കിലും കള്ളാറിലെ വി ജെ ജോണ്‍ വിശ്വസിച്ചില്ല. കഴിഞ്ഞദിവസം സഹകരണബാങ്കില്‍നിന്ന് 9500 രൂപയുമായി ആളുവന്നപ്പോള്‍ സന്തോഷം നിയന്ത്രിക്കാനായില്ല. മരുന്ന് വാങ്ങണം. ബാക്കി സൂക്ഷിച്ചുവച്ച് നിത്യചെലവും കഴിയാം. ആരുടെ മുന്നിലും കൈനീട്ടാതെ ജീവിക്കാമെന്ന ആശ്വാസത്തിലാണ് ജോണ്‍.
  
• ദിവസവും പോസ്റ്റുമാനോട് പെന്‍ഷന്‍ വന്നോ എന്നന്വേഷിച്ച് നിരാശനാകുന്ന മോഹനനായ്കും ആഹ്ളാദത്തിന്റെ നെറുകയിലാണ്. തളര്‍വാതം പിടിച്ച് കിടപ്പിലായ മോഹനനായ്കിന് ചികിത്സക്കുള്ള വഴിയാണ് തെളിഞ്ഞത്. ചികിത്സക്കുവേണ്ടി ഒന്നിച്ചുവാങ്ങിയ ചെറിയ കടം വീട്ടണം. 12,600 രൂപയാണ് കുടിശ്ശിക സഹിതം കാസര്‍കോട് സര്‍വീസ് സഹകരണബാങ്ക് അധികൃതര്‍ബുധനാഴ്ച വീട്ടിലെത്തിച്ചത്.

ഇവരുടെ പെന്‍ഷന്‍തുകയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു ഗണിതചോദ്യം നിര്‍മിക്കാമോ? കിട്ടിയ തുക സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ആഗ്രഹിക്കുന്ന ചെലവിനവും.ഇവ രണ്ടും പരിഗണിക്കണം. 
കുട്ടികള്‍ ഓരോരുത്തരും നിര്‍മിക്കുന്ന ഗണിതചോദ്യങ്ങള്‍ ബോര്‍ഡില്‍ എഴുതണം. അവയുടെ ഉത്തരം വ്യക്തിഗതമായി കണ്ടെത്തട്ടെ. ക്രിയാവേളയില്‍ തത്സമയ സഹായം ആവശ്യമുളളവര്‍ക്ക് നല്‍കണം. തുടര്‍ന്ന് ഓരോന്നും പ്രത്യേകം എടുത്ത് ചര്‍ച്ച ചെയ്യണം. വ്യത്യസ്തമായ രീതികളിലൂന്നിയാകണം ചര്‍ച്ച.

ക്രോഡീകരണം

• ആശയപരം-( മണ്ണില്‍ പണിയെടുത്തും ഭാരം ചുമന്നും വിയര്‍ത്തൊലിച്ചവര്‍ ജീവിതസായാഹ്നത്തില്‍ ഗതികെട്ടുപോകരുത്. മരുന്നിനുപോലും പണമില്ലാതെ ആരുടെ മുന്നിലും കൈനീട്ടിനില്‍ക്കരുത്. ക്ഷേമപെന്‍ഷന്‍ അവകാശമാണ്. ആരുടെയും കാരുണ്യമല്ല)

• ഗണിതപരം.-
  രൂപപ്പെടുത്തിയ ഗണിത പ്രശ്നങ്ങള്‍, വ്യവകലനത്തില്‍ സ്വീകരിച്ച വ്യത്യസ്ത രീതികള്‍

എന്തെല്ലാമാണ് വ്യത്യസ്തരീതികള്‍?

പല അധ്യാപകരും വ്യത്യസ്തരീതികളെ കൗതുകരീതി എന്ന നിലയ്ക് അവതരിപ്പിച്ച് അവഗണിക്കുകയാണ് ചെയ്യുന്നത്. ഗണിതപരമായ ചിന്തയുടെ സാധ്യതകളില്‍ നിന്നും ആത്മവിശ്വാസമുളളവ തെരഞ്ഞെടുക്കാന്‍ കുട്ടിക്ക് അവസരം നല‍കുകയല്ലേ വേണ്ടത്?

ചില രീതികള്‍ പരിചയപ്പെടാം.

പുനക്രമീകരണമില്ലാത്ത രീതികളില്‍ തുടങ്ങാം.

തൊട്ടടുത്ത സൗഹൃദസംഖ്യയിലേക്ക് ( പത്തുകളായോ നൂറുകളായോ വരുന്ന സംഖ്യ) .തുടര്‍ന്ന് കുട്ടിക്ക് എളുപ്പം വഴങ്ങുന്ന ഏത് സംഖ്യയിലേക്കും പോകാം. വ്യത്യാസങ്ങള്‍ കൂട്ടിയാല്‍ മതയില്ലോ?

ഒന്നാം രീതിയില്‍ മുന്നോട്ടു പോകുന്നു. രണ്ടാം രീതിയില്‍ പിന്നോട്ടു പോകുന്നു. ഏതു വലിയ കണക്കും ഈ രീതിയില്‍ ചെയ്യാനാകും. പത്തുകളും നൂറുകളും ആയിരങ്ങളും പതിനായിരങ്ങളും തമ്മില്‍ വ്യത്യാസം കാണുന്നതിന് കുട്ടിക്ക് വേഗം കഴിയുമെന്നതിനാല്‍ സംഖ്യയുടെ വലുപ്പം പ്രശ്നമല്ല.ഒരു ഉദാഹരണം  കൂടി നോക്കുക

5432-3786

3786 - 3790- 3800- 4000- 5000- 5400- 5430-5432 

  (     4+       10+     200+ 1000+    400+  30+      2) 

(കൂടുതല്‍ സമയം എടുക്കില്ലേ എന്നാവും പുരികം ചുളിയുന്നത്. കുട്ടി കണക്ക് തെറ്റിക്കുന്നതില്‍ ആഹ്ലാദിക്കുന്നവര്‍ക്കേ ഇങ്ങനെ ചുളിയാനാകൂ. ) 

നൂറില്‍ നിന്നും ഒരു സംഖ്യകുറച്ചതിന്റെ ചിത്രീകരണമാണിത്. ഏതു സംഖ്യയാണ് എന്നു കണ്ടെത്താമോ? ( വഴങ്ങുന്ന സംഖ്യകള്‍ കുറച്ച് കുറച്ച് പോകുന്ന ഈ രീതിയും സ്വീകരിക്കാം)

രീതി നാല്-

 സൗഹൃദസംഖ്യകളാക്കി പിരിക്കുക .കുറയ്കുക.ഇങ്ങനെ പിരിക്കുന്നതിനും ചില ഗണിതയുക്തികള്‍ വേണ്ടി വരും. തൊട്ടടുത്ത പത്തുകളിലേക്ക് എത്താനാകും വിധത്തിലായാല്‍ നന്ന്.

രീതി അഞ്ച്

 

കുറയ്കേണ്ട സംഖ്യയുടെ (84) ഒന്നുകള്‍ കുറവുചെയ്യേണ്ട സംഖ്യയിലെ( 37) ഒന്നുകളേക്കാള്‍ വലുതിയിരിക്കുമ്പോള്‍ സ്വീകരിക്കാവുന്ന രീതി തൊട്ടടുത്ത പത്തുകളിലേക്ക് മാറുക എന്നതാണ്.(37+3=40) പിന്നെ കൂട്ടല്‍ പ്രക്രിയയിലൂടെ 84ല്‍ എത്തിച്ചേരുക. മഞ്ഞ നിറത്തിലുളളവയാണല്ലോ നാം കൂട്ടിയവ. അവയുടെ തുക തന്നെയാണ് ഉത്തരം 47+37=84 ആണോ എന്നു പരിശോധിക്കുക

  രീതി 

• 27+3=30
• 30+50=80
• 80+4=84
• 3+50+4=57

84-
27	?

രീതി -

80+4

20+7

84=80+4	80	60-7=53
27=20+7	20	53+4=57
	60	57

• 80-20=60
• 60-7=53
• 53+4=57
• 84-30=54 ( 27നെ തൊട്ടടുത്തുളള പത്തുകളാക്കി, 30=27+3 )
• 54+3=57 ( 27 കുറയ്കുന്നതിനു പകരം 30 ആണ് കുറച്ചത്. അതിനാല്‍ ആ മൂന്ന് ഇവിടെ കൂട്ടി ക്രമീകരിച്ചു)

 രീതി 

• 80-30=50
• 50+4+3=57

രീതി

• (84+3)-(27+3)
• 87-30=57

രീതി 

• 84-4=80
• 80-50=30
• 30-3=27
• 4+50+3=57

രീതി 

• 84- ( 20+7)
• 84-20=64
• 64-4=60
• 60-3=57
•  

 അനുബന്ധം

 വ്യത്യസ്ത ഉത്തരം ലഭിക്കാവുന്ന ഗണിത ക്രിയകള്‍ കുട്ടികള്‍ ഏറ്റെടുക്കും. ചിലത് ഉയര്‍ന്ന ചിന്താശേഷി ആവശ്യപ്പെടുന്നതുമാകും. അവയും പരിചയപ്പെടണം.

പ്രവചനം

74-26 എന്ന ക്രിയ പരിശോധിക്കുക. ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തുളളത് ആറും നാലുമാണ്. ആറില്‍ നിന്നും നാല് കുറയ്കാനല്ല നാലില്‍ നി്ന്നും ആറു കുറയ്കാനാണ് ചോദ്യം. അതാകട്ടെ നിലിവിലുളള ആശയതലം വെച്ച് അസാധ്യവും. വലിയ സംഖ്യ 14ഉം കുറയ്കേണ്ട സംഖ്യ 6 ഉം ആണെങ്കില്‍ ഉത്തരം എത്രായിരിക്കും? എട്ട്. ഈ സാമാന്യ ബോധം വെച്ച് ഉത്തരത്തിലെ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ സംഖ്യ പ്രവചിക്കാന്‍ കഴിയുമോ? എന്നു പരിശോധിച്ചിട്ടുണ്ടോ? ക്രിയ ചെയ്യാതെ? 56-38, 24-19,

33-17......

74-26 എന്ന ക്രിയയുടെ ഫലം ഏകദേശം എത്ര വരും? ഏതു റേഞ്ചില്‍ വരുമെന്നു ഊഹിച്ചു പറയാനാകണം. 10-20, 20-30,30-40,40-50? വലിയ സംഖ്യയും നല്‍കണം.

6782-2347 ( 2000,7000 എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഊഹിച്ചാല്‍ 5000 നു താഴെയോ മുകളിലോ വരാം. 4000-6000 നുളളിലാകും എന്നു പ്രവചിക്കാന്‍ കഴിയണം. പിന്നീട് ഉത്തരത്തിനോട് കൂടുതല്‍ അടുത്ത സംഖ്യകള്‍ പ്രവചിക്കല്‍ നടക്കും. മനഗണിതത്തെ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കാന്‍ പ്രവചനങ്ങള്‍ വഴിയൊരുക്കും. ഉത്തരം വളരെ വ്യത്യാസം വന്നാല്‍ തിരുത്താനും സഹായകം.

74-39 എന്നതിന് തൊട്ടടുത്ത സൗഹൃദസംഖ്യ കുറയ്കുക.

74-40 ഇപ്പോള്‍ കിട്ടിയ സംഖ്യയോട് ഒന്നു കൂട്ടി ഉത്തരം ക്രമീകരിക്കുക.

81-57

സൗഹൃദസംഖ്യ കാണല്‍ ( 57+3=60)

81-60

21+ 3 =24

ഏതാണ് ശരി?

95-57
95             57
90+5         50+7
80+10  
(80+15) - (50+7    )= 30+8=38

മുകളില്‍ സൂചിപ്പിച്ച ഏതു രീതിയുമായാണ് ചുവടെ നല്‍കിയ ഉദാഹരണം പൊരുത്തപപ്പെടുന്നത്?

..............................................

ഇത്രയും രീതികള്‍ വ്യവകലത്തില്‍ സാധ്യമായിരിക്കേ ഒരു രീതിയില്‍ മാത്രം ചെയ്യാന്‍ നിര്‍ബന്ധിതരായി തുടര്‍ച്ചയായി പരാജയപ്പെട്ടുപോകുന്ന കുട്ടികളുടെ അധ്യാപകര്‍ക്ക് ഈ പോസ്റ്റ് സമര്‍പ്പിക്കുന്നു

മുന്‍ ലക്കം വായിക്കാന്‍ ക്ലിക് ചെയ്യുക

•  കണക്കിലെ കടമ്പകള്‍ കടക്കാന്‍ -1  (ഗുണനത്തിലിനി പിന്നാക്കമില്ല)
•  കണക്കിന്റെ കടമ്പ കടക്കാന്‍-2 ( സങ്കലന പ്രതിസന്ധി തീരുന്നു)